El agujero de la Luna.


El agujero en la Luna. Una explicación de por qué Abraham tenía razón, o casi.

Hola Buhardilleros, viendo que los señores de la Buhardilla no han conseguido aclararse de niguna manera con este problemita, lo voy a “resolver” de una vez por todas. Y digo que no han conseguido aclararse, acusando directamente a sus componentes de fallarnos al decir que “lo estudiarían” y “consultarían”, y en vez de eso, nos traen en el pograma 54 un audio de un enchufado que no dice dos cosas coherentes seguidas, y eso que él mismo avisa en el audio que no tiene ni idea, y mira que había gente diciendo que el movimiento es para siempre, pero no, todavía no se lo creen. Bueno, al turrón, como dicen algunos que yo me se:

1.      Supuestos:
a)      El agujero es en la Luna, que no tiene atmósfera. Esto fue enunciado así.
b)      Se realiza un agujero diametral a la Luna, por el que se deja caer un objeto con velocidad inicial nula.

2.      Objetivo:
c)      Describir el movimiento.

3.      Solución:
a)      Para ello vamos primero a definir algunos parámetros (aquí viene bien la wikipedia):
·        G, constante gravitaria universal de valor 6,674 e-11 Nm2/kg2
·        M, masa de la Luna de valor 7,349 e22 kg
·        R, radio de la Luna de valor 1,738 e6 m
·        r, posición del objeto respecto al centro de la Luna medido en m
·        m, masa del objeto de valor irrelevante (para este problema)

b)      Ecuaciones del movimiento:
·        Según la ley de Newton: F = m a
·        Según la ley de gravitación universal: F = -G M m r / |r|3
·        Vamos a simplificar el vector r, y lo vamos a sustituir por el escalar r, ya que el problema en polares se reduce a dos ecuaciones independientes, una de las cuales es trivial. Así, F = -G M m / r2
·        Ahora bien, esta expresión es válida únicamente para valores de r > R. En caso contrario, y usando el teorema de Gauss, la expresión quedaría como    F = -G M m r / R3. Esto significa que la fuerza de la gravedad lunar va disminuyendo a medida que el objeto va descendiendo, hasta anularse en el centro. El teorema de Gauss expresa que la suma de todas las fuerzas de atracción de todas las masas que componen la Luna es equivalente a la suma de las fuerzas de atracción de las masas que están dentro del volumen de la esfera de radio r.
·        Igualando ambas expresiones de la fuerza se obtiene que a = -G M r / R3. (Nótese que a = d2r / dt2). Ponemos A = G M / R3 para simplificar, y nos queda a = -A r
·        Se trata de una ecuación diferencial de 2º orden, que no contiene la variable independiente de forma explícita. Así que vamos a reducirla a una ecuación de 1er orden con el cambio de variable v = dr/dt, por lo que a = dv/dt = (dv/dr) (dr/dt) = v’ v
·        Así nos queda la expresión: v’ v = -A r. Esta ecuación se resuelve fácilmente integrando v dv = -A r dr. Lo cual nos da: v2/2 = -A r2/2 + cte.
·        Dado que la velocidad inicial es nula, para r = R tenemos que cte = A R2/2, y por tanto la ecuación queda como v2 = A ( R2 – r2)
·        Integrando ahora la última expresión dr = √(A(R2 - r2)) dt, tenemos arcsen r/R = √(A) t + cte. Es decir, r = R sen (√(A) t + cte)
·        Dado que en el instante inicial la posición es sobre la superficie de la Luna tenemos que r(0) = R = R sen (cte). Por tanto cte = π/2.
·        Simplificamos la ecuación cambiando sen (√(A) t + π/2) por cos (√(A) t). Finalmente se ha llegado a la expresión r = R cos (√(A) t)
·        Sustituyendo A por su valor, tenemos que r = R cos (√ (G M t / R3 )), y basta ver que es un coseno para entender que el movimiento es oscilatorio, y dado que no existe otro término amortiguador, se repetirá de forma periódica.
·        Con esta expresión obtenemos la distancia r al centro para cada instante de tiempo t.
·        Si damos valores a t y a r podemos ver que se llega al centro r = 0 en el tiempo t = π/2 √( R3 / G M ) = 27,08 min, y llegará al otro lado del agujero en el doble de tiempo que es 54,17 min. Es curioso que para la tierra este valor sea inferior (42 min) a pesar de medir mucho más.
·        La velocidad al pasar por el centro de la Luna será de v = R √ (A) = 1680 m/s (eso equivaldría a 5 veces la velocidad del sonido en el aire de la Tierra, claro que en la Luna no hay aire).

4.      Conclusión:
·        Se produce un movimiento periódico sin amortiguación, por lo que el objeto llega exactamente hasta el otro lado y se vuelve a repetir eternamente el movimiento a un lado y al otro.

5.      Otras consideraciones:
Entiendo que este es el problema que se había planteado. Es decir, es lo que parece que todo el mundo había entendido tras escuchar y leer los comentarios a este tema. Pero … si en vez de matemáticas y física fueramos realmente a la Luna e hicieramos el agujero:
·        ¿Pasaría eso realmente?. La respuesta es no.
·        ¿Y por qué no? Pues por varias razones, pero en principio a mi se me ocurren dos que son fácilmente explicables, una fácil de calcular y la otra un poco más complicada. Además, habrá seguro más razones, pero ya estoy rizando demasiado el rizo. Veamos:
1.      Un objeto en la Luna no es sólo atraido por la Luna, sino que la Tierra también lo atrae. Sí, la Tierra atrae cualquier objeto en la Luna, de la misma manera que la Luna atrae el agua de la Tierra y crea las mareas. Pero eso apenas será un poquillo de na, ¿no? Calculemos que para una masa de la Tierra de 5,974e24 kg y una distancia Tierra-Luna de 3,84e8 m se obtiene una aceleración de 0,002704 m2/s, una birria al lado de los 1,6237 de la gravedad en la superficie de la Luna.
a)      Esto significa que si el agujero que hemos hecho en la Luna es perpendicular a la dirección Tierra-Luna, resultará que a medida que el objeto cae por el agujero, éste será desviado hacia un lado (hacia la Tierra) hasta que chocará con las paredes. Podemos pensar que podemos hacer el agujero suficientemente grande. Sí, podemos hacerlo de un diámetro de 28564 m (el cálculo os lo dejo como ejercicio que ya me voy cansando, y yo lo he calculado despreciando el efecto de que al desviarse el movimiento del radio de la Luna, la fuerza no será exactamente según las ecuaciones anteriormente calculadas, pero más o menos valen) y así evitaremos que el objeto se choque con las paredes.
b)      Desde luego, que razón tenía Tomás con su comentario que dejó en la web, la burrada de tierra que hay que sacar para hacer el “agujerito”.
c)      También podríamos pensar, que el agujero en vez de perpendicular se hace en línea con la dirección Tierra-Luna. Ahora es todavía más interesante. Si dejamos caer un objeto desde el lado más alejado a la Tierra, la fuerza de atracción de la Tierra y la Luna se sumarán mientras va cayendo hasta el centro de la Luna y posteriormente la Tierra seguirá empujando en la misma dirección pero la Luna en la contraria. Como consecuencia el objeto saldrá por el otro lado un poco por encima del agujero (aquí si que le da tiempo al enano a pedir un fanta, Javi), y posteriormente volverá a caer otra vez hacia dentro volviendo hasta el otro lado justo al borde (aquí no le da tiempo a pedir nada al enano).
2.      La Luna no está quieta, quiero decir que gira. Esto significa que a la vez que el objeto cae, toda la Luna, incluído el objeto están girando a cierta velocidad. A medida que el objeto cae debería conservar su energía inicial, que es la suma de la energía potencial inicial y la energía cinética de rotación inicial. Dado que a medida que baja el objeto disminuye el radio de rotación, se verá obligado a caer adelantado a la línea inicial de unión objeto-centro de la Luna. Esto ya es más complicado, dado que no es cuestión de resolver una única ecuación, sino un conjunto de ellas (en principio dos), que en el caso general podemos empezar por contemplar el efecto Coriolis y ya la hemos liado, prefiero irme a dormir.

3.      También podríamos seguir considerando el efecto del Sol, o cualquier otro aspecto, peor lo cierto es que al final casi seguro que el agujero que hicimos no será de las dimensiones o con la trayectoria adecuada, y como consecuencia el objeto acabará golpeando por las paredes, perdiendo energía en cada choque, y por tanto, acabará necesariamente en las cercanías del centro de la Luna (no justo en el centro debido a la atracción de la Tierra) moviendose de un lado a otro del tubo a medida que la Luna gira y el objeto se desplaza nuevamente al punto de equilibrio más cercano a la Tierra. Un cálculo rápido me indica que el objeto podría quedarse entorno a los 2900 m del centro de la Luna moviendose de un lado a otro una vez al día lunar, como consecuencia de la rotación de la Luna.

6.      Nota final: A pesar de que avisabais que esto del agujero en la Luna iba a traer cola, ¿a que no os pensasteis que la solución sería tan extraña como compleja?, ¿eh?
Y finalmente hay que admitir que Abraham es en la práctica el que más se acercaba a una solución “real” (no la teórica ideal) diciendo que el objeto se tiene que quedar en el centro. Y Tomás de la web, el más razonable con su comentario de que ibamos a poner la Luna perdida de tierra.

7.      A partir de aquí podeis poner vuestros comentarios, chistes e insultos, que realmente es lo divertido. Saludos…
Cartesiano

3 comentarios:

  1. Supongamos que tenemos la tecnología para hacer el agujero, y que la Luna está solita en el Universo, y que la podemos considerar quieta con respecto a cualquier sistema de referencia inercial, y que está inmersa en el vacío más absoluto... aún así, el objeto que arrojemos por el agujero no estará eternamente moviéndose. Es por el efecto marea, me explico:

    En un objeto real, no puntual, al moverse a través del agujero, distintos puntos del objeto estarán sometidos a fuerzas de gravedad distintas, ligeramente distintas, la Luna no atraerá con la misma fuerza a un punto de la superficie que a otro más interno del objeto, por ejemplo, y estas fuerzas varían a cada momento durante la oscilación. Estas diferencias de fuerza de atracción entre los distintos puntos del objeto provocarán pequeñas, pequeñísimas tensiones, y sí, pequeñas, pequeñísimas deformaciones. Esto que estamos describiendo es, efectivamente, fricción interna en el objeto, es decir, pérdida de energía, y esta pérdida de energía del sistema irá a costa de la energía cinética del objeto (muy poca en cada oscilación, pero habrá). Por tanto es cuestión de tiempo que el objeto se detenga.

    Este efecto es el que provoca que la rotación de la Tierra sea cada vez más lenta y que la Luna se aleje de la Tierra con el paso del tiempo (distancias pequeñísimas por milenio, claro está, pero sucede). He aquí un enlace que lo explica con dibujitos:
    http://cienciaes.com/ciencianuestra/2009/10/28/-por-qu-la-luna-muestra-siempre-la-misma-cara-hay-mareas-en-la-luna/

    Todos los cálculos anteriores están muy bien para demostrar que inicialmente el movimiento es oscilatorio, etc etc, y son válidas si hablamos de objetos puntuales, no de objetos reales. Son pequeñas pérdidas, pero a lo largo de tiempos infinitos... hasta las cosas más pequeñas cuentan.

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  2. Hola alfonsoabas!! Muchas gracias por tu aporte.

    Me parece un tema muy interesante digno de estudiar. Tal vez me entretenga un buen rato con mis "ya olvidadas" ecuaciones de elasticidad de materiales, o tal vez haga un modelo simple de 2 masas unidad por un muelle y un amortiguador, que será más simple.

    En cualquier caso, tal y como tú mismo dices, el efecto será muy muy pequeño (la diferencia de gravedad entre dos extremos de un objeto de 1m de longitud puede ser del orden de la millonésima parte del valor de la gravedad lunar), mucho menor que el efecto provocado por la atracción de la Tierra, por ejemplo.

    Una puntualización curiosa es que el gradiente gravitatorio en el interior de la Luna será radial y constante, debido a que la fuerza de atracción disminuye proporcionalmente a la distancia al centro.

    Dado que la Luna no está aislada ni está quieta, podemos despreciar este efecto sobre los otros comentados, ya que una vez que nos desviemos de la línea recta de caída inicialmente supuesta empezarán a fallarnos todos los razonamientos. Aunque entiendo perfectamente que hayas expresado el hipotético caso de una Luna aislada y quieta para ilustrar el fenómeno.

    Ahora no me dejas más remedio que estudiarlo :)
    Y eso que los amigos de La Buhardilla 2.0 querían "cerrar" el tema del agujero en la Luna. ;)

    Saludos

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  3. Consideraciones sobre el efecto de la pérdida de energía por deformaciones

    Como dije, he considerado un modelo de 2 masas puntuales unidas por un muelle y un amortiguador (típico modelo m•a + c•v + k•x = Σ F).

    Como consecuencia de las fuerzas gravitatorias en el interior de la Luna, el gradiente gravitatorio es cte, y debido a esto existe una posición estable del modelo de masas. Esto significa que si echamos por el agujero de la Luna las dos masas unidas verticalmente, existe una longitud del muelle tal que la distancia entre las masas permanecerá constante, y por tanto no habrá pérdidas por deformación (no habrá velocidad relativa, entonces no hay pérdida).

    También podríamos echar las dos masas unidas verticalmente en una posición no estable. En ese caso tendería a la posición estable mediante una oscilación amortiguada, en la que se perdería una cantidad de energía finita, y una vez alcanzada esa posición ya no se perdería más energía. No voy a entrar en la cantidad de energía perdida, creo que basta con decir que será muy muy pequeña, ya que tan sólo hay que pensar que el gradiente gravitatorio en (m•s-2/m) en el interior de la Luna es del orden de una millonésima del valor de la gravedad.

    Otra posibilidad sería si las dos masas la echaramos por el agujero unidas horizontalmente, con lo cual no habría ninguna deformación. Y si echaramos las dos masas unidas en cualquier ángulo ocurriría igual que en el caso vertical que se alcanzaría finalmente una posición estable y no se perdería más energía.

    Extendiendo ahora el modelo de 2 masas a un sólido deformable en 3 dimensiones, se podría hacer el mismo razonamiento, con lo cual se concluye que, aunque se puede perder inicialmente una pequeña cantidad de energía debido a las deformaciones iniciales, posteriormente se alcanzaría una posición estable.

    Otra cosa diferente sería si echaramos un objeto dando vueltas, en ese caso podríamos hablar de continuos cambios en las diferencias de las fuerzas gravitatorias en el objeto que provocarían en cada vuelta pérdidas de energía por deformación. Aquí habría que estudiar si se alcanzaría igualmente una posición estable, pero eso significaría que el objeto acabaría dejando de girar como consecuencia de la amortiguación producida por la deformación (y aquí ya no entro).

    Conclusión: en el caso hipotético de una Luna inmóvil, y en ausencia de otros astros un objeto deformable arrojado por un agujero que atraviesa la Luna de lado a lado, describiría un movimiento armónico simple que inicialmente perdería muy muy poca amplitud y acabaría en un movimiento estabilizado de lado a lado de la Luna, muy muy cerquita de la superficie.

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